PACF для AR(2): как восстановить φ1 и φ2 из ρ1 и ρ2

Задача

Стационарный AR(2) имеет ρ1=0,6, ρ2=0,4. Найдите PACF на лаге 2 и коэффициенты φ1,φ2.

Для второго лага

α2=(ρ2−ρ1²)/(1−ρ1²).

Подстановка: (0,4−0,36)/(1−0,36)=0,04/0,64=0,0625.

Уравнения:

ρ1=φ1+φ2ρ1,
ρ2=φ1ρ1+φ2.

Из первого φ1=ρ1(1−φ2). Подстановка во второе даёт φ2=(ρ2−ρ1²)/(1−ρ1²)=0,0625.

Тогда φ1=0,6·0,9375=0,5625.

Для чистого AR(2) population PACF равна нулю после лага 2. В конечной выборке выборочные значения после второго лага не будут точно нулевыми.

Редакционная экзаменационная практика по ACF/PACF из tssp_exams · CC0 1.0.