Условие
Грегори оценил логит-модель по отклику y, Патрик заменил каждое значение на 1−y и оценил модель по тем же признакам. Как связаны коэффициенты, оценки их ковариационных матриц, прогнозы и прогнозы при новых значениях признаков?
Ключ источника
Все коэффициенты меняют знак; ковариационная матрица не меняется; каждая прогнозная вероятность p заменяется на 1−p. Это касается и новых точек x.
Редакционное доказательство
Логистическая функция удовлетворяет Λ(−t)=1−Λ(t). Правдоподобие исходных меток при β точно совпадает с правдоподобием инвертированных меток при −β:
Σ[ylogΛ(xᵀβ)+(1−y)log(1−Λ(xᵀβ))] не меняется после одновременной замены y→1−y и β→−β.
Поэтому единственный конечный максимум переходит в свой противоположный. Если максимум не единственен, соответствие действует между множествами максимизаторов; при разделении проблема отсутствия конечной оценки сохраняется.
Ковариация
Матрица наблюдаемой информации имеет вид XᵀWX, W=diag[pᵢ(1−pᵢ)]. При pᵢ→1−pᵢ каждый вес остаётся прежним, поэтому обратная информация и стандартные ошибки не меняются.
Для робастной sandwich-оценки при согласованной реализации score каждого наблюдения меняет знак, а его внешнее произведение остаётся тем же. Это даёт ту же симметрию.
Интерпретация
Изменяется названный «успехом» исход, а не данные признаков. Численный знак эффекта зависит от кодирования категории. Сравнивая модели разных авторов, сначала проверьте, какое событие обозначено единицей.
Борис Демешев и участники · Исходная задача и ответ · CC BY 4.0. Ключ сохранён; доказательство и условия добавлены.