ŷᵢ=β̂₁+β̂₂xᵢ; Σyᵢ=Σŷᵢ
Условие
Ипполит оценил парную регрессию с константой. Все xᵢ>0, свободный член и наклон положительны. Могут ли быть отрицательные прогнозы? Отрицательные фактические y? Может ли оказаться отрицательной сумма прогнозов или сумма y? Как изменятся ответы, если вместо положительности каждого x известно только Σxᵢ>0?
Ключ источника
Для отдельных значений: нет, да. Для сумм: нет, нет. При замене условия на положительность суммы x четыре ответа: да, да, нет, нет.
Редакционное объяснение
При каждом положительном x формула ŷᵢ=β̂₁+β̂₂xᵢ даёт положительный прогноз. Фактическое yᵢ включает остаток, который может быть достаточно отрицательным; ограничения на его индивидуальный размер в условии нет.
В МНК с константой Σyᵢ=Σŷᵢ=nβ̂₁+β̂₂Σxᵢ. При положительных коэффициентах и положительной сумме x это выражение положительно. Поэтому обе суммы не могут стать отрицательными ни в первой, ни во второй постановке.
Пример отрицательного наблюдения
Возьмите x=(1,2,3), прогнозы по прямой 1+x: (2,3,4), и остатки (3,−6,3). Они ортогональны константе и x, поэтому соответствующий y=(5,−3,7) действительно имеет эти оценки МНК. Отрицательное фактическое наблюдение возможно.
Для второго условия достаточно x=(−3,2,4), y=1+x. Сумма x положительна, но первый прогноз и первое наблюдение равны −2. Примеры добавлены редакцией; они проверяют именно возможность, а не типичность такого результата.
Борис Демешев и участники · Исходная задача и ключ · CC BY 4.0. Ответы сохранены; примеры добавлены.