Группы: y=1+x и y=1+5x; pooled: ŷ=−37/3−(5/33)x
Условие
По каждой из двух сотен наблюдений оценены отдельные парные регрессии с константой, затем общая по 200 точкам. Возможно ли: положительные наклоны в обеих группах, но отрицательный общий; положительные свободные члены, но отрицательный общий; оба явления одновременно? Сохраняется ли последняя возможность, если в каждой группе сумма x положительна?
Ключ источника
Да; да; да; нет.
Редакционный числовой пример
В первой группе возьмём по 50 копий точек (−10,−9) и (−5,−4): её прямая y=1+x. Во второй — по 50 копий (−5,−24) и (−2,−9): прямая y=1+5x. В обеих группах свободные члены и наклоны положительны.
Общий МНК даёт ŷ=−37/3−(5/33)x. Оба коэффициента отрицательны. Повторение каждой из четырёх точек одинаковое число раз не меняет оценки; пример имеет ровно 200 наблюдений, как в условии.
Почему положительные суммы x мешают
В регрессии с константой Σy=nβ̂₁+β̂₂Σx. При положительных коэффициентах и Σx>0 каждая групповая сумма y положительна, следовательно, общая тоже. Если оба общих коэффициента отрицательны при положительной общей сумме x, нормальное уравнение требовало бы отрицательной суммы y — противоречие.
В кратком доказательстве исходника перед свободным членом пропущен множитель размера группы. Здесь записано полное нормальное уравнение. Знаки и четыре итоговых ответа источника при этом сохраняются.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ответы · CC BY 4.0. Контрпример добавлен редакцией; пропущенный множитель отмечен.