β̂=Σ_{i<j}wᵢⱼβ̂ᵢⱼ; wᵢⱼ=(xᵢ−xⱼ)²/Σqᵢⱼ
Условие
Муравей Виталий построил регрессию отдельно для каждой пары наблюдений. Сами точки утрачены, но остались коэффициенты β̂₁ᵢⱼ, β̂₂ᵢⱼ и квадраты горизонтальных расстояний qᵢⱼ=(xᵢ−xⱼ)². Восстановите обычные МНК-оценки по всей выборке.
Ответ источника
Оба коэффициента являются взвешенными средними соответствующих парных оценок: β̂₂=Σwᵢⱼβ̂₂ᵢⱼ, β̂₁=Σwᵢⱼβ̂₁ᵢⱼ, где wᵢⱼ=qᵢⱼ/Σqᵢⱼ.
Редакционное доказательство наклона
Для пары с xᵢ≠xⱼ наклон равен (yᵢ−yⱼ)/(xᵢ−xⱼ). После умножения на q числитель становится (xᵢ−xⱼ)(yᵢ−yⱼ). Сумма по неупорядоченным парам равна nΣ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ), а сумма q — nΣ(xᵢ−x̄)². Отношение совпадает с общей оценкой наклона.
Свободный член
Для пары он равен (xᵢyⱼ−xⱼyᵢ)/(xᵢ−xⱼ). Сумма взвешенных числителей равна (Σxᵢ²)(Σyᵢ)−(Σxᵢ)(Σxᵢyᵢ), знаменатель — nΣxᵢ²−(Σxᵢ)². Это стандартная формула свободного члена общей регрессии с константой.
Какие пары допустимы
Пары с одинаковыми x не определяют единственную прямую вида y=a+bx. Их вес q нулевой, но умножать неопределённый коэффициент на ноль формально нельзя: такие пары следует исключить из суммы. Если все x одинаковы, общая сумма весов равна нулю и восстановление единственного наклона невозможно.
Одинаковый выбор упорядоченных или неупорядоченных пар в числителе и знаменателе даёт тот же результат; смешивать две конвенции нельзя.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ключ · CC BY 4.0. Ответы сохранены; доказательства и вырожденные случаи добавлены.