Условие
Случайно выбранный покемон в учебной модели относится к ядовитому классу с вероятностью p, к неядовитому — с вероятностью 1−p. Вес первого класса имеет N(μ₁,σ²), второго — N(μ₂,σ²). По наблюдаемому весу x найдите вероятность первого класса и представьте её в виде F(β₁+β₂x).
Ответ источника
Искомая функция распределения — логистическая: F(t)=1/(1+e⁻ᵗ). Коэффициенты в кратком ключе не выписаны; далее они выведены редакцией.
Формула Байеса
Пусть f₁(x),f₂(x) — нормальные плотности двух классов. Тогда P(класс1|x)=pf₁(x)/[pf₁(x)+(1−p)f₂(x)].
Логарифм апостериорных шансов равен log[p/(1−p)]+log[f₁(x)/f₂(x)]. Общие нормировочные множители плотностей сокращаются.
Линейный индекс
Разность квадратов даёт log(f₁/f₂)=[(x−μ₂)²−(x−μ₁)²]/(2σ²). Следовательно,
β₁=log[p/(1−p)]+(μ₂²−μ₁²)/(2σ²);
β₂=(μ₁−μ₂)/σ².
Условная вероятность действительно равна Λ(β₁+β₂x). Требуются 0<p<1 и σ²>0 для конечной записи коэффициентов.
Проверки и границы
Если μ₁=μ₂, вес не различает классы: β₂=0, итоговая вероятность равна исходной p. Если средний вес первого класса больше, наклон положителен.
Общая дисперсия существенна. При разных дисперсиях в логарифме отношения плотностей остаётся квадрат x, и простой линейный логит по одному признаку уже не получается. В задаче используется вымышленная классификация; это математический пример, не совет по реальному распознаванию опасных животных.
Борис Демешев и участники · Исходный вопрос и краткий ответ · CC BY 4.0. Коэффициенты и проверки добавлены редакцией.