Постановка
Есть две независимые нормальные выборки размеров n₁,n₂. Нужно проверить H0:μ₁=μ₂.
Равные неизвестные дисперсии
Если σ₁²=σ₂², объединённая оценка:
s_p²=[(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2).
Статистика
t=(X̄₁−X̄₂)/[s_p√(1/n₁+1/n₂)]
имеет t_{n₁+n₂−2} под H0.
Неравные дисперсии
Welch:
t_W=(X̄₁−X̄₂)/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂).
Степени свободы приближённо:
ν=[s₁²/n₁+s₂²/n₂]² / [(s₁²/n₁)²/(n₁−1)+(s₂²/n₂)²/(n₂−1)].
Что нельзя решать по результату F-теста механически
Предварительная проверка равенства дисперсий и последующий выбор теста меняют общую процедуру и её уровень. Если равенство дисперсий не является обоснованной частью модели, Welch часто служит более устойчивым базовым выбором.
Нормальность особенно важна для точного малого-n pooled t. При больших выборках средние могут использовать асимптотические приближения при более широких условиях.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-03 · закреплённый источник · CC0 1.0. Редакционный разбор темы задания.