Корреляции в двух группах и общей выборке: противоположные картины

Условие

Выборка разделена на две части. Возможно ли, что корреляция x и y приблизительно нулевая в каждой части, но почти единичная в общей выборке? Возможно ли обратное: в каждой части корреляция почти 1, а в объединении почти 0?

Ответ источника

Обе ситуации возможны. В ключе числовых примеров нет; следующие конструкции добавлены редакцией.

Нулевые группы, почти единичное объединение

В каждой группе возьмите четыре сочетания отклонений (−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1). Их корреляция равна 0. Центр первой группы сдвиньте в (−M,−M), второй — в (M,M), где M>0.

В объединённой выборке средние нулевые, дисперсии с делителем n равны M²+1, ковариация M². Поэтому r=M²/(M²+1), что стремится к 1 при росте M. Сдвиг внутри каждой группы её корреляции не меняет.

Единичные группы, нулевое объединение

Первая группа состоит из точек (0,−2),(2,0), вторая — из (−2,0),(0,2). В каждой группе две разные точки лежат на прямой с наклоном 1, поэтому r=1. Во всей выборке средние x и y равны нулю, сумма произведений xy равна нулю, а разбросы положительны. Общая корреляция равна 0.

Смысл примеров

Общая ковариация зависит не только от связи внутри групп, но и от расположения их средних. Поэтому усреднение двух коэффициентов корреляции не восстанавливает автоматически корреляцию объединённых данных. Нужны сами групповые численности, средние и суммы отклонений.

Борис Демешев и участники · Исходный вопрос · CC BY 4.0. Ответ сохранён; примеры построены редакцией.