S'_{xy}=S_{xy}+n/(n+1)(a−x̄)(b−ȳ); выберите S'_{xy}=0
Условие источника
По 300 наблюдениям получен R²=0,99. Аглая добавляет ещё 300 наблюдений с теми же регрессорами, но противоположными по знаку y. Как изменится R²? После восстановления исходной выборки можно ли добавить всего одну точку так, чтобы R² стал нулевым?
Ответы сборника
После симметричного удвоения R²=0. Одной точки также достаточно — в источнике это объясняется изменением знака наклона при перемещении добавляемой точки.
Редакционное обоснование первого ответа
В удвоенной выборке для каждого x есть y и −y. Поэтому Xᵀy=0, а средний отклик нулевой. Нулевые коэффициенты дают МНК-прогнозы 0; объяснённая сумма квадратов равна нулю. При ненулевом разбросе отклика получается R²=0.
Точная конструкция для парной регрессии
Для второй части используется парная регрессия с константой — именно такую геометрическую модель описывает ответ источника. Пусть Sxy=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ). После добавления (a,b) новая центрированная сумма равна Sxy+[n/(n+1)](a−x̄)(b−ȳ).
Выберите любое a≠x̄ и положите b=ȳ−[(n+1)/n]Sxy/(a−x̄). Тогда новая сумма произведений равна нулю, наклон МНК нулевой, ESS=0 и R²=0.
Это дополнение не утверждает, что одной произвольной точкой можно одновременно обнулить все наклоны многомерной регрессии. Модель и положение точки имеют значение; общая постановка источника уточнена в соответствии с его объяснением.
Борис Демешев и участники · Исходная задача · CC BY 4.0. Ответы сохранены; алгебраическая конструкция добавлена.