Условия источника
Постройте дискретные x,u с E(u)=0: сначала E(u|x)=0 при зависимости; затем Cov(u,x)=0, но E(u|x)≠0. Возможно ли одновременно E(u|x)=0 и E(x|u)=0 при зависимости?
Первые два пункта в ключе пусты. Для последнего источник предлагает равновероятные восемь точек (±1,±1),(±2,±2), с независимым выбором знаков внутри каждого масштаба.
Первый редакционный пример
x равновероятно принимает 1 и 2, s независимо равновероятно ±1, u=sx. Тогда E(u|x)=xE(s)=0, E(u)=0 и Cov(u,x)=0. Но |u|=x точно, следовательно, независимости нет.
Второй пример
x равновероятно принимает −1,0,1, u=x²−2/3. Тогда E(u)=0 и Cov(x,u)=E(x³)−(2/3)E(x)=0. Однако E(u|x)=x²−2/3 не равно нулю. u является непостоянной функцией x, поэтому величины зависимы.
Нулевые условные средние в обе стороны
Выберите масштаб R равновероятно из {1,2} и два независимых случайных знака s,t. Положите x=Rs, u=Rt. Это именно восьмиточечная конструкция ключа. При фиксированном x знак u остаётся симметричным, и наоборот, поэтому оба условных средних нулевые.
Тем не менее |x|=|u|. Например, P(|u|=1||x|=1)=1, тогда как P(|u|=1)=1/2. Значит, зависимость сохраняется.
Логические выводы
Нулевое E(u|x) при существующих моментах даёт нулевую Cov(u,x), но обратный переход неверен. Даже два нулевых условных средних не гарантируют независимость полных распределений. Эти различия важны при чтении предпосылок регрессионной модели.
Борис Демешев и участники · Первые два вопроса, восьмиточечный пример · CC BY 4.0. Примеры объединены; незаполненные пункты дополнены.