Условие
Винни-Пух наблюдал 100 ульев. Без громкой песни мёда не было в 20 случаях и был в 32; с песней — соответственно в 36 и 12. Песня кодируется x=1, отсутствие песни x=0; наличие мёда y=1. Оцените P(y=1|x)=Λ(β₁+β₂x), найдите вероятность для молчаливого Пятачка и проверьте значимость песни тремя тестами на 5%.
Ключ и его полнота
Источник даёт β̂₁≈0,47, β̂₂≈−1,57, вероятность около 0,615 и общую LR-формулу. Ниже приведены точные коэффициенты и недостающие LM и W.
Оценки
p̂₀=32/52=8/13, p̂₁=12/48=1/4. Поэтому β̂₁=log(32/20)≈0,470004, β̂₂=log(12/36)−log(32/20)≈−1,568616. Для x=0 прогноз равен 8/13≈0,615385.
Три статистики
При H₀:β₂=0 общая вероятность p̂_R=44/100=0,44. Из четырёх биномиальных вкладов правдоподобия получаем LR≈13,908828.
Score-тест совпадает с критерием Пирсона таблицы: LM=(p̂₀−p̂₁)²/[p̂_R(1−p̂_R)(1/52+1/48)]≈13,523976.
Оценка дисперсии логарифма отношения шансов равна 1/32+1/20+1/12+1/36. Поэтому W=β̂₂²/V̂≈12,791338.
Вывод и ограничение
Все три значения больше χ²₁,₀․₉₅≈3,841459, гипотеза отсутствия связи отвергается. Для LR асимптотическое p≈0,000192. Таблица показывает отрицательную связь песни с наличием мёда, но без случайного назначения песни не доказывает причинный эффект: сюжет не заменяет дизайн исследования.
Борис Демешев и участники · Исходная таблица и частичный ключ · CC BY 4.0. Расчёт тестов дополнен редакцией.