Условие
X имеет строки (1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,1), y=(1,2,3,4,5)ᵀ. Ошибки условно независимы N(0,σ²). Дано (XᵀX)⁻¹=[[1/2,−1/2,0],[−1/2,1,−1/2],[0,−1/2,3/2]]. Найдите s², его ожидание, дисперсии и ковариации коэффициентов и их разности, затем 95%-й интервал β₂ и два двусторонних теста: β₂=0 и β₂=β₃.
Оценки и исправления ключа
МНК даёт β̂=(1,5;2;1,5)ᵀ, остатки (−0,5;0,5;−0,5;0,5;0), SSR=1, n−k=2, s²=1/2, E(s²|X)=σ². В ключе смешаны неизвестная σ² и необоснованная подстановка 4; далее сохраняется неизвестный параметр.
Моменты
Var(u₁|X)=σ²; Var(β₁)=0, поскольку истинный параметр фиксирован. Var(β̂₁|X)=σ²/2, её оценка 1/4; E(β̂₁²|X)−β₁²=σ²/2.
Cov(β̂₂,β̂₃|X)=−σ²/2, оценка −1/4. Var(β̂₂−β̂₃|X)=7σ²/2, оценка 7/4. В исходном вычислении разности ошибочно прибавлялась удвоенная ковариация; здесь используется минус.
Var(β₂−β₃)=0. Корреляция оценок и её подстановочная оценка равны −1/√6; общий масштаб σ² сокращается.
Интервал и тесты
Квантиль t₀․₉₇₅,₂≈4,302653. Для β₂ интервал 2±4,302653√0,5=[−1,042435;5,042435]. Статистика первого теста 2/√0,5≈2,8284, поэтому на 5% гипотеза не отвергается.
Для равенства коэффициентов t=(2−1,5)/√1,75≈0,3780: также не отвергается. Это отсутствие достаточных оснований для отклонения, не доказательство равенства параметров. Численные квантили и исправленный полный расчёт выполнены редакцией.
Борис Демешев и участники · Исходные данные и проблемный ключ · CC BY 4.0. Исправления обозначены; данные сохранены.