Условие
Исходные yᵢ* независимы Exp(λ). Все значения больше 10 заменены на 10. По наблюдаемой выборке (5,10,6,10) найдите ММП-оценку λ. Выведите общую формулу и 95%-й доверительный интервал для большой выборки.
В источнике ключ не заполнен; далее — редакционный расчёт.
Вклад цензурированной строки
Значение меньше 10 наблюдается точно и даёт плотность λe^{−λy}. Значение 10 обозначает событие y*≥10 и даёт вероятность e^{−10λ}, а не плотность λe^{−10λ}.
Пусть d — число строк меньше 10, T=Σyᵢ — сумма наблюдаемых времён, включая десять для каждой цензурированной строки. Тогда L(λ)=λᵈe^{−λT}, ℓ=dlogλ−λT.
Оценка
λ̂=d/T при d>0. В примере d=2, T=31, поэтому λ̂=2/31≈0,0645161. Ошибочное использование всех четырёх строк как точных дало бы 4/31 — другую, неверную для механизма цензурирования оценку.
Интервал большой выборки
Наблюдаемая информация d/λ̂² даёт стандартную ошибку λ̂/√d. Обычный асимптотический интервал — λ̂±1,959964·λ̂/√d. Положительный логарифмический вариант: λ̂·exp(±1,959964/√d).
При фиксированном пороге ожидаемое d равно n(1−e^{−10λ}); информация Фишера n(1−e^{−10λ})/λ² согласуется с этой подстановкой.
Граничные случаи
Если все строки цензурированы, d=0 и правдоподобие убывает по λ; при λ>0 максимум не достигается, супремум при λ→0+. Для примера с двумя точными событиями большой-выборочный интервал не следует считать надёжным точным результатом: источник просит его именно для произвольной большой выборки.
Борис Демешев и участники · Исходная задача · CC BY 4.0. Решение редакции; цензурирование сохранено.