Условие
Независимые yᵢ* имеют Exp(λ). Все наблюдения меньше 10 удалены. Оставшиеся значения — 12,13,14. Найдите ММП-оценку λ, общую оценку и 95%-й интервал для большой усечённой выборки. Что происходит при попытке оценить первоначальный размер n?
Ключ отсутствует; далее — редакционное решение условной модели сохранённых значений.
Плотность после усечения
Для y≥10 условная плотность равна λe^{−λy}/P(y*≥10)=λe^{−λ(y−10)}. Следовательно, превышения z=y−10 снова имеют Exp(λ).
При m сохранённых строках ℓ=m logλ−λΣ(yᵢ−10), поэтому λ̂=m/Σ(yᵢ−10). Для примера превышения равны 2,3,4; λ̂=3/9=1/3.
Большая выборка
Асимптотическая стандартная ошибка равна λ̂/√m. Интервал Вальда: λ̂±1,959964·λ̂/√m; положительный вариант через логарифм — λ̂ exp(±1,959964/√m). При m=3 это лишь иллюстрация формулы, не точная гарантия покрытия.
Размер исходной выборки
В условном правдоподобии сохранённых значений n отсутствует. Поэтому из этого критерия оценить n нельзя. Доля удалённых строк не наблюдается; усечение отличается от цензурирования, где каждая потерянная величина всё ещё представлена строкой на пороге.
Если дополнительно моделировать m как случайное число выживших среди фиксированного неизвестного n, появляется биномиальный множитель с вероятностью сохранения e^{−10λ}. Совместное правдоподобие тогда пропорционально C(n,m)λᵐe^{−λΣyᵢ}(1−e^{−10λ})^{n−m}. Это другая, явно расширенная модель наблюдения, а не информация, содержащаяся в условной плотности.
Борис Демешев и участники · Исходные три вопроса · CC BY 4.0. Решение редакции; условный и расширенный критерии разделены.