Условия источника
Времена Y₁,…,Yₙ независимы Exp(λ). Для S=ΣYᵢ и Xᵢ=Yᵢ/S, i<n, найдите совместные и частные плотности и независимость. Затем исследуйте Zⱼ=(Y₁+…+Yⱼ)/(Y₁+…+Yⱼ₊₁). В связанном задании рассматриваются два независимых времени до k₁ и k₂ успехов и доля первого в общей сумме.
Оба ключа пусты; ниже — редакционное решение.
Общее время и доли
Совместная плотность Y равна λⁿe^{−λΣyᵢ} на положительном ортанте. Замена yᵢ=sxᵢ, yₙ=s(1−Σᵢ<ₙxᵢ) имеет якобиан s^{n−1}. Получаем f(x₁,…,xₙ₋₁,s)=λⁿs^{n−1}e^{−λs} при s>0, xᵢ>0, Σxᵢ<1.
Она раскладывается на Gamma(n, интенсивность λ) для S и постоянную плотность (n−1)! на симплексе для долей. Значит, S независима от X, а полный вектор долей имеет Dirichlet(1,…,1).
Последовательные отношения
Величины Zⱼ∼Beta(j,1), j=1,…,n−1, взаимно независимы и независимы от S. Совместная плотность равна f_S(s)∏ⱼ[jzⱼ^{j−1}], 0<zⱼ<1. Это следует из последовательного применения преобразования «сумма и доля» к независимым гамма-слагаемым.
Две группы успехов
Если A∼Gamma(k₁,λ), B∼Gamma(k₂,λ) независимы, то A+B∼Gamma(k₁+k₂,λ), A/(A+B)∼Beta(k₁,k₂), и они независимы. Доля второго ожидания имеет Beta(k₂,k₁).
Совместная плотность суммы s и доли z пропорциональна s^{k₁+k₂−1}e^{−λs}z^{k₁−1}(1−z)^{k₂−1}; гамма- и бета-нормировки дают точные частные плотности. Общая интенсивность λ существенна: при разных интенсивностях факторизация в таком виде нарушается.
Борис Демешев и участники · Задача о бабочках, две группы успехов · CC BY 4.0. Объединение; решение редакции.