Условие
Наблюдения независимы Exp(λ), n=100, Σyᵢ=200. Требуется логарифм правдоподобия, оценка λ, информация Фишера, общие и численные формулы LR, LM и W для проверки H₀:E(y)=1 против двусторонней альтернативы.
Параметризация
Здесь λ — интенсивность, E(y)=1/λ, поэтому нулевая гипотеза означает λ₀=1. ℓ(λ)=nlogλ−λS, S=Σyᵢ; λ̂=n/S=1/2; I(λ)=n/λ².
В источнике рядом с правильным числом 1/2 записано S/n. Это среднее, а не интенсивность. Формула здесь исправлена явно.
Три статистики
LR=2[nlog(λ̂/λ₀)−n+λ₀S]. При a=λ₀S/n её удобно записать 2n(a−1−loga).
LM=(n/λ₀−S)²/(n/λ₀²)=n(1−a)². При использовании информации Фишера в неограниченной оценке W=(λ̂−λ₀)²n/λ̂²=n(1−a)².
Численный ответ
a=2, поэтому LR≈61,370564; LM=100; W=100. Эти итоговые значения совпадают с числами ключа, но формула Вальда записана здесь согласованно с параметром интенсивности.
На 5%-м уровне асимптотический критический порог χ²₁ равен примерно 3,841459. Все три статистики его превышают, поэтому H₀ отвергается каждым методом.
Ограничение вывода
χ²-калибровка для этих трёх статистик является асимптотической, не точным утверждением для любого n. Совпадение LM и W в этом примере связано с выбранной параметризацией; статистика Вальда в конечной выборке может меняться при нелинейной замене параметра.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ключ · CC BY 4.0. Числа сохранены; несогласованные формулы исправлены явно.