Условие
В 100 независимых посещениях аудиторий наблюдаются четыре дисциплины с частотами 20,30,20,30. Первые три вероятности p₁,p₂,p₃ свободны, p₄=1−p₁−p₂−p₃. Найдите правдоподобие, оценку, информацию и её обратную, затем LR, LM, W для гипотезы равных вероятностей на уровне 5%. Обобщите на произвольное число категорий.
Часть ключа источника
p̂=(0,2;0,3;0,2;0,3). Для вектора первых трёх параметров I=n[diag(1/p₁,1/p₂,1/p₃)+(1/p₄)11ᵀ]; I⁻¹=[diag(p)−ppᵀ]/n.
Корректный логарифм ℓ=const+Σⱼ₌₁⁴yⱼlogpⱼ. В исходной последней логарифмической компоненте вместо вероятностей ошибочно стоят частоты; здесь ошибка отмечена и исправлена.
Редакционный вывод трёх статистик
Для r категорий и положительных pⱼ⁰, p̂ⱼ=yⱼ/n:
LR=2Σyⱼlog[p̂ⱼ/pⱼ⁰]; LM=Σ(yⱼ−npⱼ⁰)²/(npⱼ⁰); W=Σ(yⱼ−npⱼ⁰)²/yⱼ.
Последняя формула использует информацию в p̂ и требует положительных наблюдаемых частот. Для LR член с yⱼ=0 понимается по непрерывности как ноль.
Численная проверка
Ожидаемые частоты равны 25. Получаем LR≈4,027103; LM=4; W=25/6≈4,166667. Асимптотический 95%-й квантиль χ²₃ равен примерно 7,814728. Ни одна статистика не отклоняет равновероятность на 5%.
Для r категорий число степеней свободы при полностью заданном p⁰ равно r−1. Если часть параметров оценивается под нулевой гипотезой, его надо пересчитать. Неотклонение не доказывает равенство вероятностей: оно описывает результат теста на данной выборке.
Борис Демешев и участники · Условие и частичный ключ · CC BY 4.0. Тесты и числа дополнены редакцией; опечатка выделена.