Условие
Найдите предел ln(x)/x при x→+∞ и объясните, почему правило Лопиталя применимо.
Решение по шагам
Числитель и знаменатель стремятся к +∞. Обе функции дифференцируемы при x>0, производная знаменателя равна 1 и не нулевая. Отношение производных равно (1/x)/1=1/x и стремится к 0. Поэтому исходный предел равен 0.
Результат означает, что логарифм растёт медленнее линейной функции. Сам ln(x) не стремится к нулю: нулевым становится только отношение.
Проверка результата
Альтернативная оценка: при x≥1 интеграл ln(x)=∫₁ˣ1/t dt не превосходит ∫₁ˣ1/√t dt=2(√x−1). Деление на x даёт верхнюю границу, стремящуюся к 0.
Типичная ошибка
Дифференцировать числитель и знаменатель можно только после проверки условий правила. Для произвольного конечного отношения такая замена не сохраняет предел.
Что даёт этот метод
При неопределённости ∞/∞ или 0/0 правило может сократить задачу, но оценки и сравнения часто дают независимое доказательство.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.