Условие
Посчитайте целочисленные решения x+y+z=12 сначала при x,y,z≥0, затем при x,y,z≥1. Переменные различаются.
Решение по шагам
Разложение 12 одинаковых единиц по трём именованным группам задаётся двумя перегородками. В последовательности из 12 единиц и двух перегородок выбираем места перегородок: C(14,2)=91. Соседние перегородки разрешены и обозначают пустую группу.
Для положительных переменных заранее отдаём каждой группе по единице. Остаток 9 распределяется без ограничений снизу: C(11,2)=55. Эквивалентно, положительное разложение соответствует двум разрывам между двенадцатью единицами.
Проверка результата
Прямой перебор x от 0 до 12 и y от 0 до 12−x даёт 13+12+…+1=91. При положительности перебор даёт 10+9+…+1=55.
Типичная ошибка
Распределение одинаковых объектов нельзя считать как 3¹²: такая степень различает каждую единицу и решает другую задачу.
Что даёт этот метод
Для k неотрицательных переменных с суммой n ответ C(n+k−1,k−1); для положительных — C(n−1,k−1), если n≥k.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.