Условие
Последовательность задана a₀=0 и aₙ=3aₙ₋₁+2 при n≥1. Найдите явную формулу и a₅.
Решение по шагам
Ищем сдвиг, который превратит рекурсию в геометрическую. Если bₙ=aₙ+1, то bₙ=3aₙ₋₁+3=3bₙ₋₁. Начальное значение b₀=1, значит bₙ=3ⁿ и aₙ=3ⁿ−1. Поэтому a₅=243−1=242.
Формулу можно доказать индукцией: при n=0 она даёт 0; подстановка 3ⁿ⁻¹−1 в правую часть даёт 3ⁿ−3+2=3ⁿ−1.
Проверка результата
Последовательное вычисление даёт 0,2,8,26,80,242. Совпадение первых значений дополняет доказательство подстановкой, но само по себе не доказывает формулу для всех n.
Типичная ошибка
Формула 2·3ⁿ игнорирует накопление добавок и не удовлетворяет a₀=0. Начальное условие нужно проверять отдельно.
Что даёт этот метод
В рекурсии aₙ=raₙ₋₁+c при r≠1 сдвиг на c/(r−1) устраняет добавку. При r=1 получается арифметическая прогрессия.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.