Условие
Пять различных писем случайно переставляют по пяти подписанным конвертам. Сколько перестановок отправляют каждое письмо в чужой конверт? Найдите вероятность этого события.
Решение по шагам
Применяем включения и исключения к событиям «письмо i на своём месте». После фиксации k правильных мест оставшиеся можно переставить (5−k)! способами. Поэтому D₅=5!−C(5,1)4!+C(5,2)3!−C(5,3)2!+C(5,4)1!−1=44.
Всего равновозможных перестановок 120, следовательно вероятность 44/120=11/30. Для проверки используем рекурсию Dₙ=(n−1)(Dₙ₋₁+Dₙ₋₂) с D₀=1 и D₁=0.
Проверка результата
Рекурсия даёт D₂=1, D₃=2, D₄=9, D₅=4·(9+2)=44. Полный перебор всех 120 перестановок подтверждает число.
Типичная ошибка
Условие «каждое письмо не на своём месте» сильнее условия «не все письма на своих местах». Для второго события нужно исключить лишь одну перестановку.
Что даёт этот метод
Общая формула Dₙ=n!Σₖ₌₀ⁿ(−1)ᵏ/k!. При больших n вероятность беспорядка приближается к 1/e; для малого n используйте точный ответ.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.