Условие
Переставляются все десять букв слова «МАТЕМАТИКА». Сколько различных строк можно получить? Осмысленность строки не требуется.
Решение по шагам
Если бы буквы были различимы, получились бы 10! перестановок. Однако три буквы А можно переставить между собой 3! способами, не изменив строку. То же относится к двум М и двум Т. Остальные буквы встречаются по одному разу. Делим на число незаметных перестановок: 10!/(3!·2!·2!)=151200.
Второй способ: выбрать три места для А, затем два из оставшихся семи для М, два из пяти для Т и разместить три разные буквы по оставшимся местам.
Проверка результата
Произведение C(10,3)·C(7,2)·C(5,2)·3!=120·21·10·6=151200 совпадает с формулой.
Типичная ошибка
Считать только число разных букв нельзя: каждая строка должна содержать все десять исходных букв с сохранением кратностей.
Что даёт этот метод
Для кратностей n₁,…,nₖ число перестановок равно n!/(n₁!…nₖ!). Это также коэффициент при заданном наборе степеней в многочлене.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.