Условие
Для каждого натурального числа от 1 до 999 вычислили произведение его цифр (у однозначного числа это само число) и сложили все произведения. Чему равна сумма? Сколько получится, если сделать то же самое только для четырёхзначных чисел?
Решение
Начнём с трёхзначных чисел abc: первая цифра a от 1 до 9, цифры b и c от 0 до 9. Раскроем скобки в произведении (1 + 2 + … + 9)·(0 + 1 + … + 9)·(0 + 1 + … + 9). Каждое слагаемое получается выбором одного числа из каждой скобки, то есть равно a·b·c для некоторого трёхзначного числа, и каждое трёхзначное число встречается ровно один раз. Значит, сумма произведений цифр всех трёхзначных чисел равна 45·45·45 = 91 125.
Точно так же для двузначных чисел сумма равна 45·45 = 2025, а для однозначных — 1 + 2 + … + 9 = 45. Для чисел от 1 до 999 получаем 45 + 2025 + 91 125 = 93 195.
Для четырёхзначных чисел рассуждение то же: сумма равна 454 = 4 100 625. Вообще, для k-значных чисел она равна 45k. Числа, содержащие нуль, учитываются автоматически: их произведение равно нулю, и в раскрытии скобок соответствующие слагаемые тоже нулевые.
Ответ
93 195; для четырёхзначных чисел — 454 = 4 100 625.
Проверка
Прямой подсчёт программой: для однозначных, двузначных, трёхзначных, четырёхзначных и пятизначных чисел суммы равны 45, 2025, 91 125, 4 100 625 и 184 528 125, то есть 45k; для всех чисел от 1 до 999 сумма равна 93 195.
Типичные ошибки
- Записать числа от 1 до 999 с ведущими нулями (007, 042) и ответить 453. У строки 007 произведение цифр нулевое, а у числа 7 оно равно 7, поэтому так теряются 45 + 2025 = 2070.
- Думать, что числа с нулями нужно вычитать отдельно: их вклад и так нулевой.
- Взять в первой скобке цифры от 0 до 9: это тоже даёт 45, но только потому, что нуль не меняет сумму. При другой задаче, например при сумме произведений (цифра + 1), такая подмена приводит к ошибке.
Задача по мотивам problems.ru, № 98380. Формулировка и решение — редакция damirock.com.