Условие
Найдите все целые x, удовлетворяющие x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5), x≡2 (mod 7).
Решение по шагам
Из совпадения остатков по модулям 3 и 7 получаем x=2+21k, поскольку модули взаимно просты. Подставим условие по модулю 5: 2+21k≡3, то есть k≡1 (mod 5). Значит k=1+5t и x=23+105t для любого целого t.
Модули 3,5,7 попарно взаимно просты, поэтому один остаток по их произведению 105 задаёт все решения.
Проверка результата
23 делится на 3 и 7 с остатком 2, на 5 — с остатком 3. Прямой перебор от 0 до 104 находит только 23; добавление 105 сохраняет каждый остаток.
Типичная ошибка
Просто складывать остатки нельзя. При невзаимно простых модулях совместимость нужно проверять, а общий период не всегда равен произведению.
Что даёт этот метод
Метод последовательной подстановки часто проще общей формулы китайской теоремы. Он одновременно показывает существование и полный вид решений.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.