Условие
X_i независимы и принимают ±1 равновероятно. Опишите σ(X1X2), знание «X1 и X3 равны или нет», и число событий в σ(X1, X1+X2, X1+X2+X3).
Ответ источника
σ(X1X2)={∅,Ω,{X1X2=1},{X1X2=−1}}.
Знание равенства описывается σ(I{X1=X3}) (в ключе сокращённо σ(X1=X3)).
σ(X1,X1+X2,X1+X2+X3)=σ(X1,X2,X3), поэтому число событий равно 2⁸=256.
Почему можно восстановить Xi
Из A=X1+X2 и известного X1 получаем X2=A−X1. Затем из B=X1+X2+X3 получаем X3=B−A. Поэтому три наблюдаемые величины несут всю информацию о тройке знаков.
Тройка (X1,X2,X3) имеет 2³=8 элементарных комбинаций, и полная sigma-algebra по этим атомам содержит 2^8 событий.
stochastic_pro, задача 104 · CC0 1.0. Все три ответа ключа сохранены.