Задача
Xᵢ iid Bernoulli(p), в выборке k единиц из n. Найдите ММП p.
Правдоподобие
L(p)=p^k(1−p)^{n−k}, 0≤p≤1.
Для 0<k<n логарифм:
ℓ=klnp+(n−k)ln(1−p).
Score
ℓ′=k/p−(n−k)/(1−p). Уравнение ℓ′=0 даёт
p̂=k/n=X̄.
Вторая производная отрицательна, поэтому точка — максимум.
Границы
Если k=0, правдоподобие убывает и максимум p̂=0. Если k=n, максимум p̂=1. Формула k/n покрывает и эти случаи.
Моменты
E(p̂)=p, Var(p̂)=p(1−p)/n. Эта простая ММП одновременно несмещённа и состоятельна.
Редакционная практика по ММП из statistics_pro · CC0 1.0.