Задача
Для iid Bernoulli(p), 0<p<1, найдите асимптотическое распределение ln p̂.
ЦПТ для доли
√n(p̂−p)→dN(0,p(1−p)).
Преобразование
g(x)=lnx, g′(p)=1/p. По дельта-методу
√n[lnp̂−lnp]→dN(0,(1−p)/p).
То есть приблизительно
Var(lnp̂)≈(1−p)/(np).
Подстановочная SE
se≈sqrt[(1−p̂)/(n p̂)].
Граница
При p̂=0 логарифм не определён. Для небольших p и умеренного n вероятность нулевого числа успехов может быть существенной, поэтому асимптотика требует осторожности или другой параметризации.
Редакционная практика по дельта-методу из statistics_pro · CC0 1.0.