Условие
Логит-модель оценена по 1000 наблюдениям: β̂=(0,7;3)ᵀ, V̂(β̂)=[[0,04,0,01],[0,01,0,09]]. Для x=−0,5 найдите вероятность единицы, предельный эффект x, его максимально возможное значение, 95%-й интервал вероятности по дельта-методу и через монотонное преобразование интервала линейного индекса.
Состояние источника
В ключе дана общая формула логистической плотности и её максимум 1/4. Остальные числа и интервал ниже рассчитаны редакцией.
Вероятность и эффект
Индекс η̂=0,7+3(−0,5)=−0,8, поэтому p̂=Λ(−0,8)≈0,310025519. Производная по x равна 3p̂(1−p̂)≈0,641729090. Её максимум на всей прямой — 3/4=0,75, когда индекс равен нулю.
Дельта-метод
Для z=(1,−0,5)ᵀ дисперсия индекса zᵀV̂z=0,0525. Градиент вероятности по β — p̂(1−p̂)z. Поэтому стандартная ошибка вероятности около 0,049012869.
Нормальный интервал p̂±1,959964·se даёт [0,213962;0,406089].
Преобразование интервала индекса
Сначала постройте η̂±1,959964√0,0525, затем примените Λ к обеим границам. Получаем [0,222859;0,413160].
Второй интервал асимметричен относительно p̂ и всегда остаётся внутри (0,1). Первый является локальным линейным приближением и в иных данных может выходить за допустимые вероятности.
Интерпретация
Оба интервала используют асимптотическую нормальность оценок коэффициентов и данную оценку ковариации; ни один не является точной конечновыборочной гарантией только из-за большого n. Числа относятся к вероятности при фиксированном x, а не к интервалу возможных бинарных исходов отдельного наблюдения.
Борис Демешев и участники · Исходные параметры и вопросы · CC BY 4.0. Численный разбор редакции.