Задача
Примените формулу Ито к f(x)=x² и стандартному броуновскому движению W_t.
Формула Ито
f′(x)=2x, f″(x)=2. Поэтому
d(W_t²)=2W_t dW_t+dt.
Интегральная форма
W_t²=t+2∫₀ᵗW_s dW_s.
Следовательно, M_t=W_t²−t — мартингал при стандартной фильтрации.
Ожидание
Ито-интеграл имеет нулевое ожидание, поэтому E(W_t²)=t, что совпадает с Var(W_t)=t.
Квадратичная вариация
Член dt появляется именно из (dW_t)²=dt в исчислении Ито. В обычном дифференцировании второй порядок исчез бы, и получился бы неправильный результат.
Редакционная экзаменационная практика по формуле Ито из tssp_exams · CC0 1.0.