Условное распределение W3 при известных W1=1 и W5=2

Задача

Для стандартного W известно W₁=1 и W₅=2. Найдите условное распределение W₃.

Brownian bridge

На интервале [s,T] при заданных концах условное среднее линейно интерполирует:

E(W_t|W_s=a,W_T=b)=a+(t−s)/(T−s)(b−a).

Для s=1,t=3,T=5: 1+(2/4)(1)=1,5.

Условная дисперсия

Var(W_t|ends)=(t−s)(T−t)/(T−s).

Подстановка даёт (2·2)/4=1.

Ответ

W₃ | (W₁=1,W₅=2) ∼ N(1,5;1).

Безусловная дисперсия W₃ равна 3; знание двух концов уменьшает неопределённость. На самих концах conditional variance обращается в ноль.

Редакционная практика по Brownian bridge из tssp_exams · CC0 1.0.