Условие
R_t=exp(∫₀ᵗu³dW_u+t²). Представьте его как сумму константы, Ито-интеграла и обычного интеграла, проверьте мартингальность и найдите ОДУ для h(t)=E(R_t).
Ключ источника
Положив Q_t=∫₀ᵗu³dW_u+t², источник получает
dR_t=R_t[t³dW_t+(2t+t⁶/2)dt]
и ОДУ h′(t)=h(t)(2t+t⁶/2).
Интегральная форма
Так как R_0=1,
R_t=1+∫₀ᵗR_u u³dW_u+∫₀ᵗR_u(2u+u⁶/2)du.
У процесса присутствует положительный дрейф при t>0, поэтому он не является мартингалом.
Ожидание
У Ито-интеграла ожидание нулевое при соответствующей интегрируемости. Коэффициент дрейфа детерминирован по времени, поэтому E[R_t(2t+t⁶/2)]=(2t+t⁶/2)h(t), что даёт ОДУ ключа с начальным условием h(0)=1.
Его можно решить: h(t)=exp[t²+t⁷/14]. Это редакционное дополнение; исходный экзамен просит только уравнение.
Экзамен tssp_exams 2025–2026a · условие · ключ · CC0 1.0. Решение ОДУ добавлено редакцией.