d detX = detX·tr(X⁻¹dX)
Задание
Выведите формулу для дифференциала определителя матрицы X.
Вывод источника
Производная detX по элементу Xᵢⱼ равна соответствующему алгебраическому дополнению Cᵢⱼ. Поэтому
d det X = Σᵢⱼ Cᵢⱼ dXᵢⱼ.
Для обратимой матрицы X⁻¹=(detX)⁻¹Cᵀ. Подстановка превращает сумму в след и даёт формулу ключа:
d det X = det X · tr(X⁻¹ dX).
Почему появляется след
След X⁻¹dX равен Σᵢⱼ(X⁻¹)ⱼᵢ dXᵢⱼ. После умножения на detX коэффициент каждого dXᵢⱼ становится Cᵢⱼ.
Случай вырожденной матрицы
Редакционное уточнение: запись через X⁻¹ требует обратимости. Более общая формула d detX = tr(adj(X) dX) остаётся корректной и при detX=0, где adj(X) — присоединённая матрица.
Логарифм определителя
Если detX>0, из той же формулы следует d ln detX = tr(X⁻¹dX). Это базовое тождество в Gaussian likelihood, оптимизации ковариационных матриц и матричном исчислении.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 6 · CC BY 4.0. Формула источника сохранена; вырожденный случай отмечен отдельно.