Условие источника
x равновероятно равен 1 или 2. В таблице (s,y*), столбцы y*=1,2: при x=1 строки s=0 и s=1 равны (2a,1−6a) и (3a,a); при x=2 — (a,a) и (1−4a,2a). Наблюдаем y=s y*, а x и s известны всегда.
Найдите E(y*|x), E(y|x), E(y*|x,s=1). Для строк (x,y)=(1,0),(2,1),(1,1) оцените a: по всем данным; только по x,s; только по s. Ключ пуст, решение ниже редакционное.
Три средних
Допустимая область 0≤a≤1/6. При x=1: E(y*|x)=2−5a; E(y|x)=5a; E(y*|x,s=1)=5/4 при a>0.
При x=2: E(y*|x)=1+3a; E(y|x)=1; E(y*|x,s=1)=1/(1−2a). При a=0 условие s=1,x=1 имеет нулевую вероятность и соответствующее среднее не определено.
Полная наблюдаемая информация
Три вероятности строк, без постоянного множителя вероятностей x: (1−4a),(1−4a),3a. Поэтому L∝a(1−4a)², максимум при â=1/12.
Только x и s
Значения s равны 0,1,1. Правдоподобие пропорционально (1−4a)(1−2a)4a. Уравнение производной: 1−12a+24a²=0. Допустимый максимизатор â=(3−√3)/12≈0,105662.
Только s
Безусловно P(s=1)=[4a+(1−2a)]/2=1/2+a. Доля единиц равна 2/3, поэтому â=1/6 — граница допустимой области.
Разные оценки не противоречат друг другу: каждый критерий использует различную часть данных. Нельзя восстанавливать пропущенный y* как ноль: наблюдаемый ноль здесь является кодом отсутствия измерения, а латентный отклик принимает только 1 и 2.
Борис Демешев и участники · Исходные таблицы и шесть вопросов · CC BY 4.0. Полный расчёт редакции.