Условие
Совместные вероятности заданы таблицей: P(s=0,y*=0)=2a, P(s=0,y*=1)=1−6a, P(s=1,y*=0)=3a, P(s=1,y*=1)=a. Независимые наблюдения после обработки дали y=(1,1,0,1,1,0). Оцените a, если при s=1 отклик заменялся нулём; если такие строки удалялись; если данные не менялись.
Ключ не заполнен; далее — редакционный расчёт. Неотрицательность ячеек требует 0≤a≤1/6.
Замена на ноль
Единица сохраняется только при s=0,y*=1, поэтому P(y=1)=1−6a. В выборке доля единиц 4/6=2/3. Биномиальное правдоподобие максимально при 1−6a=2/3, откуда â=1/18.
Удаление строк
Теперь наблюдается условное распределение при s=0. Вероятность единицы (1−6a)/(1−4a). Приравнивание её 2/3 даёт 3−18a=2−8a, поэтому â=1/10.
Без изменений
Маргинальная вероятность единицы равна (1−6a)+a=1−5a. Отсюда â=1/15. Все три оценки лежат в допустимой области.
Почему одна и та же строка данных даёт разные ответы
Оценивание использует не только увиденные нули и единицы, но и механизм, который превратил исходные данные в наблюдаемые. В первом случае часть успехов превращается в неуспехи, во втором меняется состав выборки, в третьем используется исходное маргинальное распределение.
Подставить одну и ту же вероятность 1−5a во все три правдоподобия означало бы проигнорировать условие задачи. При усечении здесь условимся на число сохранённых строк; информация об исходном размере не задана и не добавляется молча.
Борис Демешев и участники · Исходная таблица и три механизма · CC BY 4.0. Решение редакции.