До наблюдения три равных по численности класса имеют одинаковые вероятности. После информации о предпочтении ученика веса классов меняются: наблюдение чаще встречается в некоторых группах, чем в других.
P(Б|L)=(1/3·0,4)/(1/3·(0,3+0,4+0,7))=2/7
Условие
В школе три девятых класса одинаковой численности: А, Б и В. Учителя географии обожают соответственно 30%, 40% и 70% учеников. Случайно выбранный девятиклассник Петя обожает этого учителя. Какова вероятность, что он из класса Б?
Выбор ученика равномерен среди всех девятиклассников. Событие L обозначает положительное отношение к учителю. Первоначальные вероятности классов равны 1/3.
Вероятность наблюдения
По формуле полной вероятности:
P(L) = (1/3) · 0,3 + (1/3) · 0,4 + (1/3) · 0,7 = 7/15.
Вероятность совместного события «ученик из Б и любит учителя» равна (1/3) · 0,4 = 2/15. Поэтому:
P(Б | L) = (2/15)/(7/15) = 2/7 ≈ 0,285714.
Наблюдение немного уменьшило вероятность класса Б по сравнению с первоначальной 1/3: доля поклонников учителя в Б ниже, чем в среднем по трём классам.
Проверка через условное распределение классов
После наблюдения веса классов пропорциональны 0,3 : 0,4 : 0,7. Нормировка даёт:
| Класс | Вероятность при условии L |
|---|---|
| А | 3/14 |
| Б | 2/7 |
| В | 1/2 |
Сумма равна 1. Число 0,4 — вероятность L при известном классе Б, а не вероятность класса Б при известном L. Это разные направления условной вероятности.
Что изменится при разных размерах классов
Редакционное обобщение: при численностях nА, nБ, nВ ответ будет равен 0,4nБ / (0,3nА + 0,4nБ + 0,7nВ). Условие одинаковой численности позволяет сократить размеры групп. Без него складывать только проценты нельзя.
Формула Байеса: пример с монетами · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.8 · CC BY 4.0. Адаптация; объяснение и обобщение добавлены.