Условие
X_t=g(t)[exp(2026W_t)+exp(−2026W_t)]. Найдите dX_t и ненулевую функцию g, делающую X мартингалом.
Формула Ито
Обозначим a=2026, F(W)=e^{aW}+e^{-aW}. Тогда F′=a(e^{aW}−e^{-aW}), F″=a²F. Поэтому
dX_t=[g′(t)+(a²/2)g(t)]F(W_t)dt + a g(t)[e^{aW_t}−e^{-aW_t}]dW_t.
Условие мартингальности
Чтобы убрать дрейф, требуется g′(t)=−(2026²/2)g(t). Следовательно, g(t)=C exp[−2026²t/2], C≠0.
Исправление ключа
В файле решений написано ОДУ g′=−2026²g, но сразу после него приведён пример g=exp(−2026²t/2). Эти две строки несовместимы. Формула Ито подтверждает, что правильный коэффициент в ОДУ содержит 1/2, а пример функции источника корректен.
При таком g процесс является суммой двух стандартных экспоненциальных мартингалов с параметрами ±2026, умноженных на константу C.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · ключ с опечаткой · CC0 1.0. Коэффициент 1/2 исправлен явно.