Условие
Для Λ(w)=e^w/(1+e^w) найдите связь Λ(w) и Λ(−w), производных, значения в нуле, обратную функцию и производные логарифмов.
Основные формулы
Λ(w)+Λ(−w)=1.
Λ′(w)=Λ(w)[1−Λ(w)]=e^w/(1+e^w)².
Отсюда Λ′(w)=Λ′(−w). В исходном ключе стоит минус; это ошибка, поскольку производная логистической функции положительна и симметрична.
Λ(0)=1/2; Λ′(0)=1/4; lnΛ(0)=−ln2.
Λ^{-1}(p)=ln[p/(1−p)], 0<p<1.
Логарифмические производные
d lnΛ(w)/dw=Λ(−w); d lnΛ(−w)/dw=−Λ(w). Эти два пункта ключа корректны.
Разложение около нуля
Для h(β₁,β₂)=lnΛ[y(β₁+β₂x)] и y∈{−1,1}, положив z=y(β₁+β₂x), получаем lnΛ(z)=−ln2+z/2−z²/8+O(z³). Поэтому второй порядок:
h≈−ln2 + y(β₁+β₂x)/2 − (β₁+β₂x)²/8.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 25 · CC BY 4.0. Знак Λ′ исправлен; незаполненный ряд Тейлора дополнен.