Научная визуализация
Оценка дисперсии Bin(a,p) через выборочное среднее: смещение и состоятельность
Оценка дисперсии Bin(a,p) через выборочное среднее: смещение и состоятельность. Смещение исчезает при an→∞.
E[b̂]=b[1−1/(an)]; b̂→ₚb
Условие
Xᵢ iid Bin(a,p), a известно, p неизвестно. Для b=Var(Xᵢ) исследуйте b̂=X̄(a−X̄)/a.
Ключ
b=ap(1−p); оценка смещённая и состоятельная.
Точное смещение
E(X̄)=ap, Var(X̄)=ap(1−p)/n=b/n. Поэтому E(X̄²)=a²p²+b/n и
E(b̂)=b−p(1−p)/n=b[1−1/(an)].
Bias=−p(1−p)/n. При 0<p<1 оценка занижает дисперсию.
Состоятельность и поправка
X̄→p ap, а непрерывная функция x(a−x)/a даёт b̂→p b. При an>1 умножение на an/(an−1) устраняет смещение — редакционное дополнение.
statistics_pro 7.28 · CC0 1.0 · свойства ключа сохранены; смещение добавлено.