θ̂_n=X̄_n (нечётн.); X̄_n+1/n (чётн.) →ₚ θ
Два вопроса
Возможна ли последовательность оценок, несмещённая при нечётных n, смещённая при чётных, но состоятельная целиком? И может ли вся последовательность быть состоятельной, если её нечётная подпоследовательность несостоятельна?
Ответ источника
Да; нет.
Пример первого случая
Для iid Xᵢ с E(X)=θ и конечной дисперсией положим θ̂_n=X̄_n при нечётном n и θ̂_n=X̄_n+1/n при чётном. Чётные оценки имеют bias 1/n, но X̄_n→pθ и 1/n→0. Вся последовательность состоятельна.
Почему второй случай невозможен
Из сходимости всей последовательности по вероятности следует сходимость любой подпоследовательности. Поэтому нечётные индексы не могут оставаться несостоятельными.
Состоятельность — свойство последовательности при n→∞; формулировку «несостоятельна при нечётных n» следует читать как свойство нечётной подпоследовательности.
statistics_pro 7.30 · CC0 1.0 · ответы сохранены; конструкция добавлена.