Максимум U[0,a]: четыре оценки границы и их свойства

Научная визуализация Максимум U[0,a]: четыре оценки границы и их свойства

Максимум U[0,a]: четыре оценки границы и их свойства. Сравнение оценок границы U[0,a].

F_R(r)=(r/a)^n; â₄=(n+1)R/n

Сравнение оценок границы U[0,a].

Условие

X₁,…,Xₙ iid U[0,a], R=maxXᵢ. Найдите распределение и моменты R, затем исследуйте â₁=2X̄, â₂=2(n+1)X̄/n, â₃=R, â₄=(n+1)R/n.

F_R(t)=(t/a)^n, f_R(t)=nt^{n−1}/a^n на [0,a]. E(R)=na/(n+1), E(R²)=na²/(n+2), Var(R)=na²/[(n+2)(n+1)²].

E(X̄)=a/2. Поэтому â₁ и â₄ несмещённы; â₂ смещена вверх, â₃ — вниз.

Все четыре состоятельны. Для максимума P(R≤a−ε)=[1−ε/a]^n→0, а остальные следуют из закона больших чисел и множителей, стремящихся к единице.

Var(2X̄)=a²/(3n), тогда как Var(â₄)=a²/[n(n+2)], что меньше при n>1. Информация о границе носителя полезнее простого среднего.

statistics_pro 7.22 · CC0 1.0 · распределение и моменты ключа сохранены; свойства завершены.