g(a)=(X̄−a, mean|X|−5a/4); â_GMM(W=diag(2,1))=34/95
Условие
Xᵢ независимы U[−a,3a], наблюдения 0,5;0,7;−0,1. Постройте две оценки методом моментов, GMM с W=diag(2,1), оптимальную теоретическую W и двухшаговую GMM.
Моменты источника
E(X)=a, E|X|=5a/4. Поэтому â₁=X̄=11/30 и â₂=(4/5)mean|X|=26/75. Эти ответы совпадают с ключом.
GMM с заданной W
Используем g(a)=(X̄−a, mean|X|−5a/4). При X̄=11/30 и mean|X|=13/30 критерий равен 2g₁²+g₂². Его минимум: â_GMM=34/95≈0,357895.
В источнике напечатано 108/325. Прямое дифференцирование заданного критерия даёт 34/95; исходное число здесь отмечено как несогласованное с указанной W и моментами.
Оптимальная матрица
Ковариационная матрица одного вектора моментов пропорциональна [[64,44],[44,37]]. Её обратная, с точностью до положительного скаляра, равна [[37,−44],[−44,64]] — именно эта матрица приведена в ключе.
Оптимальная оценка
При этой W минимум даёт â=1/3. Неизвестный множитель a² в ковариации сокращается, поэтому форма оптимальной W не зависит от предварительной численной оценки a. Двухшаговая процедура приходит к той же матрице с точностью до масштаба.
Задача показывает, зачем проверять числовой ключ подстановкой в фактически заданный критерий.
statistics_pro 5.24 · CC0 1.0 · моменты и W сохранены; GMM-число исправлено явно.