Условие
Оценено P̂(мёд=1)=Λ(0,25+0,3h), где h — высота дерева в метрах. Найдите вероятность при h=15, её производную по высоте, точку наибольшего предельного эффекта и наклон касательной в этой точке.
Ответы источника
При 15 м прогноз около 0,99. Общая производная 0,3Λ(0,25+0,3h)[1−Λ(0,25+0,3h)]; наибольший наклон на всей вещественной прямой достигается при h=−0,25/0,3 и равен 0,075.
Редакционная численная проверка
Линейный индекс при h=15 равен 4,75. Поэтому p̂≈0,991422515, а локальный эффект dp̂/dh≈0,002551174 на метр — около 0,255 процентного пункта для малого изменения высоты.
Это производная, не точное изменение вероятности при любом конечном увеличении высоты на метр. Для конечного шага сравниваются две логистические вероятности непосредственно.
Максимум и область h
Произведение p(1−p) максимально при p=1/2. Значит, индекс должен быть нулевым, откуда h=−5/6 м. Этот математический ответ источника лежит вне физически допустимых положительных высот деревьев.
Если отдельно ограничить h≥0, индекс всегда положителен и производная убывает с h. Тогда максимум на допустимой полуоси достигается при h=0 и равен 0,3Λ(0,25)[1−Λ(0,25)]≈0,073840225.
Ограниченный ответ является редакционным уточнением. Он не заменяет молча формальную оптимизацию источника и показывает, почему область определения признака важна для интерпретации модели.
Борис Демешев и участники · Исходная модель и ключ · CC BY 4.0. Формулы сохранены; ограничение высоты и точные числа добавлены.