Первое задание
В модели y_t=β₁+u_t ошибки независимы, E(u_t)=0, Var(u_t)=t, t=1,…,n. Найдите самую эффективную линейную несмещённую оценку. Ключ к этому пункту пуст.
Редакционный вывод
Для β̃=Σa_ty_t несмещённость требует Σa_t=1, дисперсия равна Σt a_t². Минимизация с множителем Лагранжа даёт a_t пропорциональные 1/t. Поэтому
β̂_BLUE=[Σ(y_t/t)]/[Σ(1/t)], Var(β̂_BLUE)=1/[Σ(1/t)].
Наблюдения с большей дисперсией получают меньший вес. Это не обычное арифметическое среднее, кроме случая одинаковых дисперсий.
Второй вопрос источника
Для модели только с константой одна исследовательница использует традиционную оценку ковариации, другая — оценку Уайта. Совпадут ли оценки дисперсии коэффициента и t-статистики? В ключе написано: «Одинаковые».
Необходимое уточнение версии робастной оценки
В этой модели β̂=ȳ, SSR=Σ(yᵢ−ȳ)². Обычная оценка дисперсии среднего — SSR/[n(n−1)]. Нескорректированная HC0=SSR/n², поэтому она не совпадает с обычной.
После поправки HC1=n/(n−1)·HC0 получаем точное совпадение. Следовательно, ответ источника верен для скорректированной версии HC1, но не для всякой формулы, называемой «Уайта». При разных дисперсиях истинная дисперсия среднего также требует отдельного расчёта.
Для проверки H₀:β₁=b₀ t-статистика строится как (ȳ−b₀)/√V̂. Равенство статистик следует только при одинаково определённом V̂, а не из самого названия метода.
Борис Демешев и участники · Взвешенное среднее, сравнение дисперсий · CC BY 4.0. Решение дополнено; версия HC уточнена.