Условие
В модели yᵢ=βxᵢ+uᵢ ошибки независимы N(0,1). Для 100 наблюдений Σx²=100, Σy²=900, Σxy=250. Найдите ℓ(β), максимизатор, информацию Фишера и статистики LR, LM, W проверки β=0.
Правдоподобие и оценка
ℓ(β)=−(n/2)log(2π)−(1/2)Σ(yᵢ−βxᵢ)². В ключе знак постоянного нормировочного члена напечатан иначе; на максимизатор и разность логарифмов он не влияет, но здесь дан корректный логарифм плотности.
β̂=Σxy/Σx²=2,5, score s(β)=Σxy−βΣx², информация I(β)=Σx²=100.
Общая формула трёх тестов
Для H₀:β=β₀ разность остаточных сумм равна (β̂−β₀)²Σx². Поэтому LR=LM=W=(β̂−β₀)²Σx². Информация постоянна, так что её подстановка в ограниченной или неограниченной точке не меняет результат.
Проверка по данным
SSR_UR=900−250²/100=275, SSR_R=900. Разность равна 625, как и 2,5²·100. Следовательно, все три статистики равны 625 — ответ источника.
При нулевой гипотезе и фиксированных x эта величина имеет точное χ²₁-распределение: стандартизированная оценка β̂ нормальна. Порог 5% около 3,841459 многократно превышен, H₀ отвергается.
Что существенно в условии
Дисперсия ошибок известна и равна единице. Если вместо неё оценивать σ² по остаткам, классические LR, LM и W уже не обязаны совпадать численно; появятся другие нормировки и конечновыборочные сравнения. Данная страница не переносит равенство на ту иную модель.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ответ · CC BY 4.0. Константа логарифма исправлена; статистики сохранены.