Вопрос источника
Почему в латентной пробит-модели Var(εᵢ)=1? Почему этот параметр не оценивают вместе с коэффициентами методом максимального правдоподобия?
Ответ сборника
При неизвестном общем масштабе модель неидентифицируема. Пробит-нормировка выбирает единичную дисперсию.
Редакционное объяснение
Пусть скрытый индекс y*=xᵀβ+ε, ε∼N(0,σ²), σ>0, а наблюдается только y=1[y*>0]. Тогда P(y=1|x)=Φ(xᵀβ/σ).
Для любого c>0 пары параметров (β,σ) и (cβ,cσ) дают совершенно одинаковые вероятности всех наблюдаемых исходов. Поэтому по бинарным данным нельзя отдельно восстановить абсолютный масштаб β и σ.
Что именно идентифицируется
При достаточной вариации признаков можно оценивать θ=β/σ. Установка σ=1 означает выбор единицы измерения ненаблюдаемого индекса, а не проверенную гипотезу о том, что реальная ошибка в каких-то внешних единицах имеет дисперсию ровно 1.
Максимизация без нормировки имеет целое множество эквивалентных параметров вдоль луча масштабирования. Больше наблюдений не устраняет эту структурную неоднозначность.
Граница аргумента
Речь идёт об обычной бинарной модели с одним общим неизвестным масштабом. Если наблюдать непрерывный y* или вводить дополнительную измеримую структуру, информация может быть иной. Гетероскедастическая пробит-модель тоже требует собственной нормировки, но её относительные изменения масштаба по признакам — отдельная постановка.
Не следует интерпретировать оценённый коэффициент пробита как изменение вероятности на одну единицу x. Вероятностный эффект включает плотность Φ′ в текущем индексе и зависит от положения наблюдения.
Борис Демешев и участники · Исходный вопрос и ответ · CC BY 4.0. Масштабная неоднозначность развёрнута редакцией.