Σ(xᵢ−x̄)=0; Σᵢⱼ(xᵢ−xⱼ)²=2nΣ(xᵢ−x̄)²
Задания источника
Докажите формулы или приведите контрпример: A) Σ(xᵢ−x̄)²=Σ(xᵢ−x̄)xᵢ; B) Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=Σ(xᵢ−x̄)yᵢ; C) Σᵢⱼ(xᵢ−xⱼ)²=2nΣ(xᵢ−x̄)²; D) Σᵢⱼ(xᵢ−xⱼ)(yᵢ−yⱼ)=2Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ); E) Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=Σxᵢyᵢ. Двойные суммы берутся по всем упорядоченным парам.
Также упростите nx̄−Σxᵢ; Σ(xᵢ−x̄)x̄; Σ(xᵢ−x̄)z̄; Σ(xᵢ−x̄)²+nx̄².
Ключ источника
A, B, C верны. D неверна: справа требуется множитель 2n. E неверна: справа должно быть Σxᵢyᵢ−nx̄ȳ. Ответы к четырём упрощениям: 0; 0; 0; Σxᵢ².
Редакционное объяснение
Основное тождество — Σ(xᵢ−x̄)=0. Поэтому добавление или вычитание постоянного множителя под суммой центрированных x ничего не меняет. Это сразу доказывает A, B и первые три упрощения.
Раскрытие двойной суммы даёт 2nΣxᵢyᵢ−2(Σxᵢ)(Σyᵢ)=2n[Σxᵢyᵢ−nx̄ȳ]. При y=x получается C. У формулы D потерян именно n, а не произвольный коэффициент.
Для E достаточно взять x=y=(1,1): слева 0, справа 2. Это контрпример к утверждению, но не к исправленной формуле, где вычитается nx̄ȳ=2. Последнее упрощение следует из Σ(xᵢ−x̄)²=Σxᵢ²−nx̄².
Борис Демешев и участники · Задание с тождествами, упрощения · CC BY 4.0. Задания объединены; доказательства добавлены.