Если проекция имеет k независимых стандартно-нормальных координат, её квадрат нормы Qₖ~χ²ₖ
Условие
Компоненты Z независимы и имеют распределение N(0,1). Для шести выражений найдите распределение Q, соответствующее подпространство проекции и, где задан порог, вероятность. Решение в источнике отсутствует; расчёты ниже редакционные.
Распределения и результаты
| Q и событие | Подпространство | Результат |
|---|---|---|
| Z₁²; Q>6,6 | Span(e₁) | χ²₁; вероятность ≈0,010198 |
| nZ̄²; Q<3,8 | Прямая через вектор единиц | χ²₁; вероятность ≈0,948747 |
| Σ(Zᵢ−Z̄)² | Ортогональное дополнение к вектору единиц | χ²ₙ₋₁; числовой порог не задан |
| Z₅²+Z₆²+Z₃₂²; Q<0,58 | Span(e₅,e₆,e₃₂) | χ²₃; вероятность ≈0,099005 |
| Z₂²+(Z₇+Z₁₁)²/2; Q>6 | Span(e₂,(e₇+e₁₁)/√2) | χ²₂; вероятность ≈0,049787 |
| (Z₇+Z₁₁)²/2+(Z₃+Z₉+Z₁₂)²/3; Q<0,21 | Span((e₇+e₁₁)/√2,(e₃+e₉+e₁₂)/√3) | χ²₂; вероятность ≈0,099675 |
Размерность исходного вектора должна позволять использовать все указанные индексы; для общего набора примеров достаточно n≥32. В третьем пункте n≥2 даёт невырожденное χ²-распределение.
Почему делители 2 и 3 необходимы
Сумма двух независимых стандартных нормальных величин имеет дисперсию 2, трёх — 3. Деление суммы на квадратный корень из числа слагаемых стандартизирует её; после возведения в квадрат появляются делители 2 и 3.
В последних строках группы индексов не пересекаются, поэтому стандартизированные суммы независимы. Можно складывать их квадраты и складывать степени свободы. Для перекрывающихся групп такой вывод потребовал бы проверки ковариации.
Воспроизведение численных ответов
Значения вычислены по функциям распределения χ²; например, в Python используются chi2.sf(6.6,1) и chi2.cdf(3.8,1). Для двух степеней свободы есть простая проверка: P(Q>q)=exp(−q/2). Она даёт exp(−3) в пятой строке и 1−exp(−0,105) в последней.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.3 · CC0 1.0. Условие источника; решение и численные проверки редакции.