Σₖ₌₁²⁷ k=378; общее среднее равно 14, поэтому средние групп обязаны удовлетворять взвешенному балансу
Условие
Аня, Боря и Вова поделили натуральные числа от 1 до 27 включительно. Среднее чисел Ани равно 15, Бори — 3, Вовы — 18. Сколько чисел могло достаться Ане?
Каждое число используется ровно один раз, группы непустые. В источнике решение отсутствует; далее — редакционный вывод с конструкциями, подтверждающими каждый ответ.
Уравнения для численностей
Пусть a, b и c — количества чисел у участников. Всего чисел 27, а их сумма 27 · 28/2 = 378. Поэтому:
a + b + c = 27;
15a + 3b + 18c = 378.
Вычитая утроенное первое равенство из второго, получаем 4a + 5c = 99. Отсюда a ≡ 1 по модулю 5. Учитывая положительность c, возможными кандидатами остаются a = 1, 6, 11, 16, 21.
Ограничение от маленького среднего Бори
Сумма b различных положительных целых чисел не меньше 1 + … + b = b(b + 1)/2. У Бори сумма равна 3b, значит b(b + 1)/2 ≤ 3b. При b > 0 отсюда b ≤ 5.
Из системы также b = (36 − a)/5. Для a = 1 и a = 6 получились бы b = 7 и b = 6, что невозможно. Остаются a = 11, 16 и 21.
Проверка существования разбиений
При a = 11 дадим Боре числа 1,…,5, Ане — 10,…,20, Вове — остальные. Суммы равны 15, 165 и 198; численности — 5, 11 и 11. Все средние нужные.
При a = 16 Боря получает {1, 2, 4, 5}, Вова — 15,…,21, Аня — остальные. Суммы Бори и Вовы равны 12 и 126, поэтому у Ани сумма 240 и 16 чисел: среднее 15.
При a = 21 дадим Боре {1, 2, 6}, Вове — {17, 18, 19}, Ане — остальные. У Ани остаётся сумма 378 − 9 − 54 = 315 на 21 число, снова среднее 15.
Ответ
У Ани могло быть 11, 16 или 21 число. Одних уравнений для численностей недостаточно: они дают необходимые условия, но не гарантируют разбиение на различные числа. Именно ограничения на минимальную сумму и явные конструкции завершают доказательство.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.16 · CC0 1.0. Условие источника; доказательство и разбиения редакции.