Первые наклейки собираются быстро: почти каждая покупка приносит новый вид. Ближе к завершению всё больше покупок дают повторы. Поэтому среднее число покупок значительно превышает размер коллекции.
Условие
В каждой шоколадке находится наклейка с одним из 30 животных. Все виды равновероятны. Пусть X — число шоколадок, которое потребуется купить, чтобы собрать полную коллекцию. Найдите E(X) и Var(X) и объясните результат понятным способом.
Для расчёта считаем наклейки в разных упаковках независимыми. В сборнике приведена сумма для E(X); разложение по этапам, дисперсия и пояснения ниже дополняют исходный ответ.
Ожидание следующей новой наклейки
Когда собрано k разных видов, не хватает 30 − k видов. Вероятность получить новый вид при очередной покупке равна:
pk = (30 − k)/30.
Обозначим через Tk число покупок до следующего нового вида, включая успешную покупку. Это геометрическая величина с математическим ожиданием 1/pk. Для первого вида ожидание равно 1, для второго — 30/29, а для последнего — уже 30.
Среднее число шоколадок
Полное время сбора — сумма 30 этапов:
X = T₀ + T₁ + … + T₂₉.
По линейности ожидания:
E(X) = 30/30 + 30/29 + … + 30/1 = 30H₃₀ ≈ 119,849614.
Здесь H₃₀ = 1 + 1/2 + … + 1/30. Ответ — примерно 120 покупок в среднем. Это не гарантированное количество: конкретная коллекция может собраться раньше или существенно позже.
Дисперсия
После появления нового вида начинается новый этап с другой вероятностью успеха. В модели независимых равновероятных наклеек длительности этапов независимы. Для геометрической величины, считающей попытки вместе с успешной, дисперсия равна (1 − p)/p².
Поэтому:
Var(X) = Σj=1³⁰ [900/j² − 30/j] = 900H₃₀(2) − 30H₃₀ ≈ 1331,085492.
Здесь H₃₀(2) = Σj=1³⁰ 1/j². Большая дисперсия отражает длительное ожидание редких недостающих видов, особенно последнего.
Как объяснить без формальных обозначений
В начале любая наклейка полезна, поэтому первая покупка всегда пополняет коллекцию. Когда не хватает десяти видов, полезной оказывается примерно каждая третья покупка. Когда не хватает одного вида, шанс полезной покупки — только 1 из 30.
Среднее время ожидания последней наклейки равно 30 покупкам — столько же, сколько видов во всей коллекции. Последние пять недостающих видов в сумме требуют в среднем 30 · (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) = 68,5 покупки.
Почему 30 ln 30 недостаточно точно
В источнике упомянута приближённая оценка 30 ln 30, около 102. Она передаёт рост при увеличении числа видов, но для 30 наклеек заметно ниже точного среднего 119,85. Для численного ответа в этой задаче следует использовать гармоническую сумму, а не только её главный логарифмический член.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 12.10 · CC BY 4.0. Адаптация; добавлены дисперсия и пояснения.