Var(mean без возвращения)=Var(mean с возвращением)·(N−n)/(N−1)
Условие
Из фиксированного множества N чисел случайно выбирают n. Среднее и дисперсия одного равномерно выбранного элемента равны μ и σ². Найдите ожидание и дисперсию среднего выбранных чисел при выборе с возвращением и без возвращения. Рассмотрите n = 1, n = N и большую совокупность.
Формулы обеих схем приведены в источнике. Далее добавлен вывод через ковариацию. Для схемы без возвращения предполагаем N > 1 и 1 ≤ n ≤ N.
Выбор с возвращением
Независимые выборы сохраняют распределение одного элемента. Поэтому E(X̄ₙ) = μ, а при суммировании n независимых величин и делении на n:
Var(X̄ₙ) = σ²/n.
Ковариация без возвращения
Рассмотрим случайную перестановку всех N элементов совокупности. Каждый элемент на любой позиции имеет дисперсию σ². По симметрии ковариация двух разных позиций одинакова; обозначим её c.
Сумма всех N позиций постоянна, поэтому её дисперсия нулевая: 0 = Nσ² + N(N − 1)c. Отсюда c = −σ²/(N − 1).
Для первых n позиций получаем:
Var(X̄ₙ) = [nσ² + n(n − 1)c]/n² = (σ²/n)(N − n)/(N − 1).
Ожидание по-прежнему равно μ. Множитель (N − n)/(N − 1) — поправка, учитывающая конечную совокупность.
Проверка крайних случаев
При n = 1 обе схемы дают дисперсию σ². При n = N без возвращения выбрана вся совокупность, среднее известно точно и дисперсия равна 0. С возвращением при n = N повторения всё ещё возможны, поэтому дисперсия равна σ²/N.
При N → ∞ и фиксированном n поправка стремится к 1. Это же верно при n/N → 0. Уточнение существенно: если доля отбора n/N стремится к положительному числу, поправка вообще не обязана исчезать. В источнике предельный вывод сформулирован без этого уточнения.
Какая дисперсия стоит в формуле
σ² здесь — дисперсия равномерного выбора одного элемента, то есть средний квадрат отклонений всей совокупности с делителем N. Подстановка величины с делителем N − 1 без согласованного изменения формулы создаст лишний коэффициент.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.11 · CC0 1.0. Формулы сохранены; вывод и предельная оговорка добавлены.